Exercice 12, § 2

a) On considère, sur l’ensemble $\mathbf{R}$ des nombres réels, la topologie $\mathscr{T}$ définie de la manière suivante: pour tout $y > 0$, $U_y(x)$ désigne la réunion des intervalles

$\mathscr{T}$ est la topologie dans laquelle un système fondamental de voisinages d’un point quelconque $x$ est formé des ensembles $U_y(x)$, où $y$ parcourt l’ensemble des nombres $> 0$. Soit X l’espace obtenu en munissant l’intervalle $[-1, +1]$ de la topologie induite par $\mathscr{T}$. Montrer que X est compact (considérer un filtre $\mathscr{F}$ sur X; si $x \in X$ est adhérent à $\mathscr{F}$ pour la topologie de la droite numérique, $x$ ou $-x$ est adhérent à $\mathscr{F}$ pour la topologie $\mathscr{T}$). b) Tout point de X admet un système fondamental dénombrable de voisinages, et il existe une partie dénombrable partout dense de X, mais X n’est pas métrisable (montrer que sa topologie n’admet pas de base dénombrable). Tout sous-espace dénombrable de X est métrisable et de type dénombrable. c) Soit A une partie ouverte de X; montrer que A est réunion d’une famille dénombrable

(I_n) d’intervalles ouverts contenus dans $(0, 1)$, des intervalles $-I_n$, d’une partie de l’ensemble des origines des intervalles $I_n$ et $-I_n$ et éventuellement du point $+1$. En déduire que $A$ est réunion d’une famille dénombrable d’ensembles fermés dans $X$.

d) Soit $Y$ l’ensemble $I \times \{1, 2\}$, où $I$ est l’intervalle $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$; on pose $E_i = I \times \{i\}$ ($i = 1, 2$) et on désigne par $f$ la bijection $(x, 1) \mapsto (x, 2)$ de $E_1$ sur $E_2$. Pour tout $x \in I$, on désigne par $\mathscr{B}((x, 2))$ l’ensemble de parties réduit à $\{(x, 2)\}$, par $\mathscr{B}((x, 1))$ l’ensemble des parties de la forme $V_1 \cup (f(V_1) - \{(x, 2)\})$, où $V_1 = V \times \{1\}$ et $V$ parcourt un système fondamental de voisinages de $x$ dans $I$. Montrer que pour tout $y \in Y$, $\mathscr{B}(y)$ est un système fondamental de voisinages de $y$ pour une topologie sur $Y$. Muni de cette topologie, $Y$ est compact et tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages, mais il n’existe pas d’ensemble dénombrable partout dense dans $Y$. Toute partie fermée de $Y$ contenue dans $E_2$ est finie; en déduire que dans $Y$ l’ensemble compact $E_1$ ne possède pas de système fondamental dénombrable de voisinages. Si $R$ est la relation d’équivalence dans $Y$ dont les classes sont l’ensemble $E_1$ et les points de $Y - E_1$, $R$ est fermée et toute classe d’équivalence suivant $R$ est compacte, mais il y a dans $Y/R$ un point n’admettant pas de système fondamental dénombrable de voisinages (cf. IX, p. 96, exerc. 24 a)).

e) Soit $X$ un espace compact, $\mathscr{B}$ une base de la topologie de $X$ telle que pour tout point $x \in X$ l’ensemble $\mathscr{B}(x)$ des $G \in \mathscr{B}$ tels que $x \in G$ soit dénombrable. Montrer qu’alors $\mathscr{B}$ est dénombrable. (Il suffit de prouver qu’il y a dans $X$ une partie dénombrable dense. Définir une suite $(C_n)$ de parties dénombrables de $X$, de la façon suivante: on prend $C_0 = \varnothing$, et $\mathscr{B}_n$ est défini comme l’ensemble des $G \in \mathscr{B}$ tels que $G \cap C_n \neq \varnothing$, de sorte que $\mathscr{B}_n$ est dénombrable. Pour toute partie finie $\mathscr{F} \subset \mathscr{B}_n$ telle que la réunion des $G \in \mathscr{F}$ ne soit pas vide, on prend un point $x_{\mathscr{F}} \in X - \bigcup_{G \in \mathscr{F}} G$, et on désigne par $C_{n+1}$ la réunion de $C_n$ et des $x_{\mathscr{F}}$. Montrer que la réunion $D$ des $C_n$ est dense dans $X$ en raisonnant par l’absurde et utilisant le fait que $\overline{D}$ est compact).

f) Déduire de e) que si $X$ est un espace localement compact et s’il existe une base $\mathscr{B}$ de la topologie de $X$ tel que $\mathscr{B}(x)$ soit dénombrable pour tout $x \in X$, alors $X$ est métrisable. (Considérer d’abord le cas où $X$ est compact, puis utiliser IX, p. 95, exerc. 19a) et la méthode de I, p. 70, th. 5.