Exercice 8, § 3

On dit qu’une application $w$ d’un anneau A dans $\mathbf{R}_+$ est une semi-valeur absolue sur A si elle satisfait aux conditions 1 : 1° : $w(0) = 0$; 2° $w(x - y) \leq w(x) + w(y)$; 3° $w(xy) \leq w(x)w(y)$. La semi-valeur absolue $w$ est dite séparée si $w(x) = 0$ entraîne $x = 0$. Si $w$ est une semi-valeur absolue séparée sur A, $w(x - y)$ est une distance invariante sur le groupe additif A, et définit par suite une topologie compatible avec la structure de groupe additif de A; montrer que cette topologie est compatible avec la structure d’anneau de A. Généraliser aux anneaux munis d’une semi-valeur absolue les principales propriétés des algèbres normées notamment la prop. 14 (IX, p. 40).

Si $w$ est une semi-valeur absolue non séparée sur A, l’ensemble $w(0)^{-1}$ est un idéal bilatère $a$ dans A; si on munit A de la topologie définie par l’écart $w(x - y)$, elle est compatible avec la structure d’anneau de A, et l’espace séparé associé à A n’est autre que l’anneau quotient $A/a$, sur lequel la fonction $\overline{w}(\bar{x})$, égale pour toute classe $\bar{x}$ mod. $a$ à la valeur commune de $w(x)$ pour tous les $x \in \bar{x}$, est une semi-valeur absolue séparée, dite associée à $w$, définissant la topologie quotient de celle de A par $a$.