Bài tập 8, § 3

Ta nói rằng một ánh xạ $w$ của một vành A vào $\mathbf{R}_+$ là một giá trị bán tuyệt đối trên A nếu nó thỏa mãn các điều kiện 1: 1°: $w(0) = 0$; 2° $w(x - y) \leq w(x) + w(y)$; 3° $w(xy) \leq w(x)w(y)$. Giá trị bán tuyệt đối $w$ được gọi là tách nếu $w(x) = 0$ kéo theo $x = 0$. Nếu $w$ là một giá trị bán tuyệt đối tách trên A, $w(x - y)$ là một khoảng cách bất biến trên nhóm cộng A, và do đó xác định một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của A; bây giờ chứng minh rằng tôpô này tương thích với cấu trúc vành của A. Tổng quát hóa cho các vành được trang bị một giá trị bán tuyệt đối các tính chất chính của các đại số định chuẩn, đặc biệt mệnh đề 14 (IX, p. 40).

Nếu $w$ là một giá trị bán tuyệt đối không tách trên A, tập hợp $w(0)^{-1}$ là một iđêan hai phía $a$ trong A; nếu A được trang bị tôpô xác định bởi khoảng cách $w(x - y)$, nó tương thích với cấu trúc vành của A, và không gian tách liên kết của A không gì khác ngoài vành thương $A/a$, trên đó hàm $\overline{w}(\bar{x})$, bằng với giá trị chung của $w(x)$ đối với mọi $x \in \bar{x}$ cho mỗi lớp $\bar{x}$ mod. $a$, là một giá trị bán tuyệt đối tách, được gọi là liên kết với $w$, xác định tôpô thương của tôpô của A bởi $a$.