Exercice 15, § 4

Soient $X, Y$ deux espaces séparés. a) On suppose qu’il existe dans $X$ un ensemble fermé $A$ qui ne soit pas intersection d’ensembles ouverts, et dans $Y$ un ensemble infini dénombrable non fermé $B$. Soit $b \in \overline{B} - B$. On considère dans $X \times Y$ les ensembles $C = A \times B, D = (X - A) \times \{b\}$. Montrer que $C \cap \overline{D} = \overline{C} \cap D = \varnothing$, mais qu’il n’existe pas de couples $(U, V)$ d’ensembles ouverts dans $X \times Y$ tels que $C \subset U, D \subset V$ et $U \cap V = \varnothing$. b) Pour que $X \times Y$ soit complètement normal, il est nécessaire qu’un des espaces $X, Y$ soit parfaitement normal ou que dans un des espaces $X, Y$ tout ensemble infini dénombrable soit fermé (cf. IX, p. 113, exerc. 15). c) Soit $X = [a, b)$ un ensemble bien ordonné non dénombrable tel que $\{a, x\}$ soit dénombrable pour tout $x < b$. On munit $X$ de la topologie pour laquelle $\{x\}$ est ouvert pour tout $x < b$, et les intervalles $]x, b]$ forment un système fondamental de voisinages de $b$ (pour $x < b$). Montrer que $X \times X$ est complètement normal mais que $X$ n’est pas parfaitement normal. d) Montrer que si $X$ est un espace compact tel que $X \times X \times X$ soit complètement normal, $X$ est métrisable (utiliser le th. 1 de IX, p. 15).