Bài tập 15, § 4

a) Cho $X$ là một không gian chuẩn tắc và cho $R$ là một quan hệ tương đương đóng trên $X$. Chứng minh rằng không gian thương $X/R$ là chuẩn tắc (sử dụng Mệnh đề 10 của Chương I, § 5, no. 4).

b) Cho $X$ là một không gian compact địa phương $\sigma$-compact, và cho $R$ là một quan hệ tương đương trên $X$ mà đồ thị của nó là đóng trong $X \times X$. Chứng minh rằng $X/R$ là chuẩn tắc (xem Chương I, § 10, Bài tập 19).

c) Cho $X$ là phần bù trong $\mathbf{R}$ của tập hợp các điểm có dạng $1/n$, trong đó $n$ là một số nguyên bất kỳ khác 0 hoặc $\pm 1$. Xét quan hệ tương đương $R$ trên không gian mêtric $X$ mà lớp tương đương của mỗi $x \in X$, không phải là một số nguyên, gồm các điểm $x$ và $1/x$, và lớp tương đương của mỗi số nguyên chỉ gồm chính số nguyên đó. Chứng minh rằng $R$ là mở và đồ thị của $R$ là đóng trong $X \times X$, nhưng $X/R$ không chính quy.