Exercice 16, § 4

Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille non dénombrable d’espaces topologiques séparés, ayant chacun au moins deux points distincts. Pour tout $i \in I$, soient $a_i, b_i$ deux points distincts de $X_i$. Soit $X$ l’espace produit $\prod_{i \in I} X_i$, et soit $Y$ le sous-espace de $X$ formé des points $(x_i)_{i \in I}$ tels que $x_i = a_i$ sauf pour un ensemble dénombrable d’indices $i$; soit $b$ le point $(b_i)$ de $X$. Dans l’espace produit $X \times Y$, on considère les ensembles $A = Y \times Y$ et $B = \{b\} \times Y$. Montrer que $A$ et $B$ sont fermés et qu’il n’existe aucun couple d’ensembles ouverts $U, V$ dans $X \times Y$ tels que $A \subset U, B \subset V$ et $U \cap V = \varnothing$. (Soient $U, V$ deux ensembles ouverts tels que $A \subset U$ et $B \subset V$; montrer qu’il existe une suite croissante $(H_n)$ de parties dénombrables de $I$, telle que, si on désigne par $x_n$ le point de $Y$ dont toute coordonnée d’indice $i \in H_n$ est égale à $b_i$, toute coordonnée d’indice $i \notin H_n$ égale à $a_i$, le point $(x_{n+1}, x_n)$ appartient à $V$ pour tout entier $n$; prouver que la suite $(x_{n+1}, x_n)$ tend vers un point de $A$, et en conclure que $U \cap V \neq \varnothing$). Déduire de ce résultat un exemple d’anneau topologique connexe et non normal. En déduire également que le produit d’une famille non dénombrable d’espaces topologiques séparés dont chacun a au moins deux points distincts, ne peut être complètement normal (utiliser le résultat ci-dessus lorsque tous les $X_i$ sont identiques à un espace discret formé de deux points.)