Bài tập 16, § 4

Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một họ không đếm được các không gian tôpô tách, mỗi không gian đều có ít nhất hai điểm phân biệt. Với mỗi $i \in I$, cho $a_i, b_i$ là hai điểm phân biệt của $X_i$. Cho $X$ là không gian tích $\prod_{i \in I} X_i$, và cho $Y$ là không gian con của $X$ tạo bởi các điểm $(x_i)_{i \in I}$ sao cho $x_i = a_i$ ngoại trừ một tập hợp đếm được các chỉ số $i$; cho $b$ là điểm $(b_i)$ của $X$. Trong không gian tích $X \times Y$, xét các tập hợp $A = Y \times Y$ và $B = \{b\} \times Y$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ và $B$ là đóng và rằng không tồn tại cặp các tập hợp mở $U, V$ trong $X \times Y$ sao cho $A \subset U, B \subset V$ và $U \cap V = \varnothing$. (Cho $U, V$ là hai tập hợp mở sao cho $A \subset U$ và $B \subset V$; chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng $(H_n)$ các tập hợp đếm được của $I$, sao cho, nếu ký hiệu $x_n$ là điểm của $Y$ mà mọi tọa độ có chỉ số $i \in H_n$ đều bằng $b_i$, mọi tọa độ có chỉ số $i \notin H_n$ đều bằng $a_i$, thì điểm $(x_{n+1}, x_n)$ thuộc $V$ với mọi số nguyên $n$; chứng minh rằng dãy $(x_{n+1}, x_n)$ hội tụ tới một điểm của $A$, và kết luận rằng $U \cap V \neq \varnothing$). Suy ra từ kết quả này một ví dụ về một vành tôpô liên thông và không chuẩn tắc. Cũng suy ra rằng tích của một họ không đếm được các không gian tôpô tách, mỗi không gian trong đó có ít nhất hai điểm phân biệt, không thể hoàn toàn chuẩn tắc (sử dụng kết quả trên khi tất cả các $X_i$ đồng nhất với một không gian rời rạc tạo bởi hai điểm.)