Exercice 18, § 4

Soient $X$ un espace séparé non normal, $A$ et $B$ deux ensembles fermés sans point commun dans $X$, tels qu’il n’existe aucun couple d’ensembles ouverts $U, V$ sans point commun, satisfaisant aux relations $A \subset U, B \subset V$. Soit $R$ la relation d’équivalence dans $X$ dont les classes d’équivalence sont l’ensemble $A$, l’ensemble $B$ et les ensembles $\{x\}$, où $x$ parcourt $C(A \cup B)$. Montrer que le graphe de $R$ dans $X \times X$ est fermé et que la relation $R$ est fermée, mais que l’espace quotient $X/R$ n’est pas séparé (cf. I, p. 155, prop. 8).