Exercice 20, § 4

Pour tout recouvrement $\mathscr{R}$ d’un espace topologique $X$, on désigne par $V_{\mathscr{R}}$ la réunion des ensembles $U \times U$, où $U$ parcourt $\mathscr{R}$. On dit qu’un recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de $X$ est uni s’il existe un voisinage $W$ de la diagonale $\Delta$ de $X \times X$ tel que le recouvrement formé des $W(x)$, où $x$ parcourt $X$, soit plus fin que $\mathscr{R}$. On dit que $\mathscr{R}$ est divisible s’il existe un voisinage $W$ de $\Delta$ dans $X \times X$ tel que $W \subset V_{\mathscr{R}}$.

a) Montrer que tout recouvrement ouvert uni de $X$ est divisible (cf. IX, p. 107, exerc. 26 b)).

b) Soit $\mathscr{R}$ un recouvrement ouvert de $X$ tel qu’il existe un recouvrement fermé localement fini $\mathscr{S}$ de $X$, plus fin que $\mathscr{R}$. Montrer que le recouvrement $\mathscr{R}$ est uni. (Pour tout ensemble $A \in \mathscr{S}$, soit $U_A$ un ensemble de $\mathscr{R}$ contenant $A$ et soit $V_A$ la réunion dans $X \times X$ des ensembles ouverts $U_A \times U_A$ et $(X - A) \times (X - A)$; considérer l’ensemble $W = \bigcap_{A \in \mathscr{S}} V_A$).

c) Soit $X$ un espace complètement régulier; on dit qu’un recouvrement $\mathscr{R}$ de $X$ est normal si $V_{\mathscr{R}}$ est un entourage de la structure uniforme universelle $\mathscr{U}_\omega$ (IX, p. 86, exerc. 10) de $X$; il revient au même de dire qu’il existe un écart $d$ continu sur $X \times X$, tel que l’ensemble des $(x, y) \in X \times X$ tels que $d(x, y) < 1$ soit contenu dans $V_{\mathscr{R}}$. Il existe alors une suite infinie $(\mathscr{R}_n)$ de recouvrements de $X$ tels que $\mathscr{R}_1 = \mathscr{R}$ et $V_{\mathscr{R}_{n+1}}^2 \subset V_{\mathscr{R}_n}$ pour tout $n$; en particulier, tout recouvrement ouvert normal est uni.

d) Soit $X$ un espace complètement régulier, et soit $(U, V)$ un recouvrement ouvert de $X$ (un tel recouvrement est dit binaire). Pour que $(U, V)$ soit un recouvrement divisible, il faut et il suffit que, si l’on pose $A = X - U, B = X - V$, il existe deux ensembles ouverts disjoints $S, T$ tels que $A \subset S$ et $B \subset T$. Pour que $(U, V)$ soit un recouvrement normal, il faut et il suffit que $A$ et $B$ soient normalement séparés (IX, p. 103, exerc. 15). En déduire que pour tout $x \in X$ et tout voisinage ouvert $U$ de $x$, il existe un voisinage ouvert $V$ de $x$ tel que $\overline{V} \subset U$ et que $(U, X - \overline{V})$ soit un recouvrement normal de $X$.

e) Pour qu’un espace complètement régulier $X$ soit weierstrassien (IX, p. 88, exerc. 20), il faut et il suffit que tout recouvrement ouvert normal de $X$ contienne un recouvrement fini (utiliser IX, p. 89, exerc. 20 d)).