Bài tập 20, § 4

Đối với mọi phủ $\mathscr{R}$ của một không gian tôpô $X$, ta ký hiệu bởi $V_{\mathscr{R}}$ hợp của các tập hợp $U \times U$, trong đó $U$ chạy qua $\mathscr{R}$. Một phủ $\mathscr{R}$ của $X$ được gọi là đều nếu tồn tại một lân cận $W$ của đường chéo $\Delta$ của $X \times X$ sao cho phủ được tạo bởi các $W(x)$, trong đó $x$ chạy qua $X$, mịn hơn $\mathscr{R}$. Một phủ $\mathscr{R}$ được gọi là chia được nếu tồn tại một lân cận $W$ của $\Delta$ trong $X \times X$ sao cho $W \subset V_{\mathscr{R}}$.

a) Chứng minh rằng mọi phủ mở đều của $X$ đều chia được (xem IX, p. 107, bài tập 26 b)).

b) Cho $\mathscr{R}$ là một phủ mở của $X$ sao cho tồn tại một phủ đóng hữu hạn địa phương $\mathscr{S}$ của $X$, mịn hơn $\mathscr{R}$. Chứng minh rằng phủ $\mathscr{R}$ là đều. (Đối với mỗi tập hợp $A \in \mathscr{S}$, lấy $U_A$ là một tập hợp của $\mathscr{R}$ chứa $A$ và lấy $V_A$ là hợp trong $X \times X$ của các tập hợp mở $U_A \times U_A$ và $(X - A) \times (X - A)$; xét tập hợp $W = \bigcap_{A \in \mathscr{S}} V_A$).

c) Cho $X$ là một không gian hoàn toàn chính quy; một phủ $\mathscr{R}$ của $X$ được gọi là chuẩn nếu $V_{\mathscr{R}}$ là một lân cận của cấu trúc đều phổ quát $\mathscr{U}_\omega$ (IX, p. 86, bài tập 10) của $X$; điều này tương đương với việc nói rằng tồn tại một khoảng cách liên tục $d$ trên $X \times X$, sao cho tập hợp các $(x, y) \in X \times X$ thỏa mãn $d(x, y) < 1$ được chứa trong $V_{\mathscr{R}}$. Khi đó tồn tại một dãy vô hạn $(\mathscr{R}_n)$ các phủ của $X$ sao cho $\mathscr{R}_1 = \mathscr{R}$ và $V_{\mathscr{R}_{n+1}}^2 \subset V_{\mathscr{R}_n}$ với mọi $n$; đặc biệt, mọi phủ mở chuẩn đều là đều.

d) Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn, và cho $(U, V)$ là một phủ mở của $X$ (một phủ như vậy được gọi là nhị phân). Để $(U, V)$ là một phủ chia được, điều kiện cần và đủ là, nếu đặt $A = X - U, B = X - V$, tồn tại hai tập mở rời nhau $S, T$ sao cho $A \subset S$ và $B \subset T$. Để $(U, V)$ là một phủ chuẩn, điều kiện cần và đủ là $A$ và $B$ được phân ly chuẩn (IX, p. 103, exerc. 15). Suy ra rằng với mọi $x \in X$ và mọi lân cận mở $U$ của $x$, tồn tại một lân cận mở $V$ của $x$ sao cho $\overline{V} \subset U$ và $(U, X - \overline{V})$ là một phủ chuẩn của $X$.

e) Để một không gian chính quy hoàn toàn $X$ là Weierstrass (IX, p. 88, exerc. 20), điều kiện cần và đủ là mọi phủ mở chuẩn của $X$ chứa một phủ hữu hạn (sử dụng IX, p. 89, exerc. 20 d)).