Exercice 21, § 4

a) Soit $X$ un espace complètement régulier; montrer que, pour que $X$ soit localement connexe, il faut et il suffit que pour tout recouvrement ouvert normal $\mathscr{R}$ de $X$, il existe un recouvrement ouvert normal $\mathscr{R}'$ plus fin que $\mathscr{R}$ et formé d’ensembles ouverts connexes. (Pour voir que la condition est suffisante, utiliser l’exerc. 20 d). Pour voir qu’elle est nécessaire, considérer un recouvrement normal $\mathscr{R}$ de $X$, une suite $(\mathscr{R}_n)$ de recouvrements ouverts de $X$ tels que $\mathscr{R}_1 = \mathscr{R}$, $V_{\mathscr{R}_{n+1}}^2 \subset V_{\mathscr{R}_n}$, et pour tout $n$, considérer le recouvrement $\mathscr{R}'_n$ formé des composantes connexes des ensembles de $\mathscr{R}_n$.

b) Soient Y un espace topologique, X un sous-espace dense dans Y, y un point de Y, $(V_i)_{1 \leq i \leq n}$ un recouvrement fini de X formé d’ensembles connexes. Montrer que la réunion des $\overline{V}_i$ qui contiennent y est un voisinage connexe de y.

c) Soient Y un espace complètement régulier, X un sous-espace dense dans Y. On suppose que X est weierstrassien (IX, p. 88, exerc. 20) et localement connexe. Montrer que Y est localement connexe. (Soient $y \in Y$, U un voisinage ouvert de y dans Y; il y a un voisinage fermé $V \subset U$ de y dans Y tel que $(U \cap X, (Y - V) \cap X)$ soit un recouvrement normal de X; utiliser l’exerc. 21 a) l’exerc. 20 e) et l’exerc. 21 b)).