Bài tập 21, § 4

a) Cho $X$ là một không gian paracompact và cho $R$ là một quan hệ tương đương đóng trên $X$ sao cho mọi lớp tương đương đối với $R$ là compact. Hãy chứng minh rằng $X/R$ là paracompact [sử dụng Bài tập 15 a), Định lý 3 của no. 3, và Bổ đề 6 của no. 5; xem Bài tập 15 c)].

b) Cho $X$ là một không gian Hausdorff và cho $R$ là một quan hệ tương đương đóng trên $X$ sao cho mọi lớp tương đương đối với $R$ là compact. Hãy chứng minh rằng nếu $X/R$ là paracompact, thì $X$ cũng vậy (sử dụng lập luận của Chương I, $§ 9$, no. 10, Mệnh đề 17).

c) Cho $Y$ là một không gian compact địa phương nhưng không paracompact (xem Chương I, $§ 9$, Bài tập 12), và cho $Y_0$ là compact hóa một điểm của $Y$. Cho $X$ là tổng tôpô của $Y$ và $Y_0$, và cho $R$ là quan hệ tương đương trên $X$ xác định mỗi điểm của $Y$ với ảnh chính tắc của nó trong $Y_0$. Quan hệ $R$ là mở, mỗi lớp tương đương mod $R$ chứa nhiều nhất hai điểm, và $X/R$ là đồng phôi với $Y_0$, do đó là compact.