Exercice 29, § 4

a) Soit $(\mathfrak{S}_n)$ (pour $n \geq 1$) une suite de familles localement finies formées de parties ouvertes d’un espace topologique $X$. On suppose que $\mathfrak{S} = \bigcup_n \mathfrak{S}_n$ est un recouvrement de $X$.

Il existe alors un recouvrement localement fini $\mathscr{B}$ (non nécessairement ouvert) de $X$ qui est plus fin que $\mathfrak{S}$. (Soit $U_n$ la réunion des ouverts de toutes les familles $\mathfrak{S}_k$ pour $k \leq n$; montrer que si $A_n = U_n - U_{n-1}$ (avec $U_0 = \varnothing$) l’ensemble $\mathscr{B}$ des parties $V \cap A_n$, où $V \in \mathfrak{S}_n$ et $n$ parcourt l’ensemble des entiers $\geq 1$, répond à la question.)

b) Soient $X$ un espace topologique, $(A_i)_{i \in I}$ une famille de parties de $X$; on dit que $(A_i)$ est localement finie en un point $x \in X$ s’il existe un voisinage de $x$ ne rencontrant $A_i$ que pour un nombre fini d’indices $i \in I$. On dit qu’un sous-espace $Y$ de $X$ est relativement paracompact dans $X$ si, pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de parties ouvertes de $X$, formant un recouvrement de $Y$, il existe un ensemble $\mathfrak{S}$ de parties ouvertes de $X$, formant un recouvrement de $Y$ plus fin que $\mathscr{F}$, et localement fini en tout point de $Y$. Si $X$ est séparé, $Y$ est alors un espace paracompact (cf. IX, p. 113, exerc. 14). Dans un espace paracompact, tout sous-espace fermé est relativement paracompact. Dans un espace séparé, tout sous-espace compact est relativement paracompact.

c) Soit $Y$ un sous-espace fermé d’un espace normal $X$; montrer que si $Y$ est relativement paracompact dans $X$, alors, pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de parties ouvertes de $X$, formant un recouvrement de $Y$, il existe un ensemble localement fini $\mathfrak{S}$ de parties ouvertes de $X$, plus fin que $\mathscr{F}$ et formant un recouvrement de $Y$. (On peut supposer que $\mathscr{F}$ est localement fini en tout point de Y. Pour tout $y \in Y$, soit $U_y$ un voisinage de $y$ ne rencontrant qu’un nombre fini d’ensembles de $\mathscr{F}$. Soient V la réunion des $U_y$ pour $y \in Y$, W un voisinage de Y tel que $\overline{W} \subset V$; considérer les intersections de W est des ensembles de $\mathscr{F}$.

d) Dans un espace normal X, montrer qu’une réunion dénombrable de sous-espaces fermés relativement paracompacts dans X est un sous-espace relativement paracompact dans X (utiliser a) et c) et IX, p. 107, exerc. 25 c)). En particulier, dans un espace paracompact X, toute réunion dénombrable de sous-espaces fermés est un sous-espace relativement paracompact dans X (et a fortiori paracompact) (cf. IX, p. 113, exerc. 14).

e) Montrer que tout produit d’un espace paracompact X et d’un espace complètement régulier Y, réunion dénombrable d’ensembles compacts, est paracompact (plonger Y dans $\beta Y$ et utiliser d)) (cf. IX, p. 113, exerc. 14).