Exercice 6, § 4

Soient X un espace normal, g (resp. f) une fonction semi-continue supérieurement (resp. inférieurement) dans X, telles que $g \leq f$. Montrer qu’il existe une fonction numérique h, continue dans X et telle que $g \leq h \leq f$. (Se ramener au cas où f et g prennent leurs valeurs dans $[0, 1]$. Pour tout nombre dyadique $r \in [0, 1]$, soient F(r) l’ensemble des $x \in X$ tels que $f(x) \leq r$, G(r) l’ensemble des $x \in X$ tels que $g(x) < r$. Définir par récurrence, pour tout nombre dyadique $r \in [0, 1]$, un ensemble ouvert $U(r)$, de sorte que pour $r < r'$, on ait $F(r) \subset U(r')$, $\overline{U(r)} \subset U(r')$ et $\overline{U(r)} \subset G(r')$, en suivant la même marche que dans la démonstration de IX, p. 42, th. 1).