Bài tập 6, § 4

Chứng minh rằng, trong một không gian chuẩn tắc $X$, mọi không gian con $Y$ của $X$ là một hợp đếm được của các tập hợp đóng thì là chuẩn tắc. [Cho $A, B$ là hai tập hợp đóng rời nhau của $Y$, và giả sử rằng $Y$ là hợp của một dãy tăng $(Y_n)$ các tập hợp đóng của $X$. Định nghĩa bằng quy nạp hai dãy $(U_n), (V_n)$ các tập hợp mở của $X$ sao cho: (i) $U_n \cap Y_n$ và $V_n \cap Y_n$ không giao nhau; (ii) $U_n \cap Y_n$ chứa $A \cap Y_n$ và tất cả các tập hợp $U_i \cap Y_i$ với $1 \leq i \leq n$; và $V_n \cap Y_n$ chứa $B \cap Y_n$ và tất cả $V_i \cap Y_i, 1 \leq i \leq n.$]