Exercice 9, § 4

Tout ensemble totalement ordonné X, muni de la topologie $\mathscr{T}_0(X)$ (I, p. 91, exerc. 5) est complètement normal. (Considérer en premier lieu le cas où X est compact; montrer d’abord que tout ensemble ouvert dans X est réunion d’un ensemble d’intervalles ouverts deux à deux disjoints, à l’aide de IV, p. 47, exerc. 2; utiliser ce résultat pour démontrer la proposition, en considérant (avec les notations de l’exerc. 7) le complémentaire de l’ensemble fermé $\overline{A} \cap \overline{B}$, puis le complémentaire de l’ensemble $\overline{B}$. Pour passer au cas général où X est quelconque, utiliser IV, p. 52, exerc. 7).