Bài tập 9, § 4

a) Cho $X$ là một không gian paracompact trong đó mỗi điểm có một hệ lân cận cơ bản đếm được, và cho $Y$ là một không gian chuẩn tắc compact đếm được ($§ 2$, Bài tập 14). Chứng minh rằng $X \times Y$ là chuẩn tắc. [Cho $A, B$ là hai tập con đóng rời nhau của $X \times Y$; với mỗi $x \in X$, chứng minh rằng có một lân cận $U_x$ của $x$ trong $X$ và hai tập mở $V_x, W_x$ trong $Y$ sao cho $\overline{V_x} \cap \overline{W_x} = \emptyset$ và sao cho với mỗi $z \in U_x$ ta có $A(z) \subset V_x$ và $B(z) \subset W_x$; để chứng minh điều này, hãy lập luận bằng phản chứng. Cho $(T_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phủ mở hữu hạn địa phương của $X$, mịn hơn phủ $(U_x)_{x \in X}$, và cho $(f_\lambda)$ là một phân hoạch đơn vị trực thuộc $(T_\lambda)$; với mỗi $\lambda \in L$, cho $x_\lambda$ là sao cho $T_\lambda \subset U_{x_\lambda}$ và cho $g_\lambda$ là một ánh xạ liên tục từ $Y$ vào $[0, 1]$ bằng 0 trên $\overline{V}_{x_\lambda}$ và bằng 1 trên $\overline{W}_{x_\lambda}$; xét hàm $\sum f_\lambda(x) \ g_\lambda(y)$ trên $X \times Y$.]

b) Cho $Y = [a, b[$ là không gian compact địa phương được định nghĩa trong Chương I, § 9, Bài tập 12, và cho $X = [a, b]$ là không gian compact thu được bằng cách ghép thêm một điểm ở vô cực vào $Y$. $Y$ là chuẩn tắc (Bài tập 4) và compact đếm được (§ 2, Bài tập 15), nhưng tích $X \times Y$ không là chuẩn tắc (dùng Chương II, § 4, Bài tập 4).