Exercice 14, § 5

Soit X le sous-ensemble du plan $\mathbf{R}^2$ formé de la droite $D = \{0\} \times \mathbf{R}$ et des points $(1/n, k/n^2)$, où n parcourt l’ensemble des entiers $> 0$ et k l’ensemble $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels.

a) Pour tout point $(0, y)$ de D et tout entier $n > 0$, soit $T_n(y)$ l’ensemble des points $(u, v)$ de X tels que $u \leqslant 1/n$ et $|v - y| \leqslant u$. Montrer que si on prend comme système fondamental de voisinages de chaque point $(0, y)$ l’ensemble des $T_n(y)$, et comme système fondamental de voisinages de chacun des autres points de X l’ensemble réduit à ce point, on définit sur X une topologie $\mathscr{T}$, plus fine que la topologie induite par celle de $\mathbf{R}^2$, et pour laquelle X est localement compact.

b) Montrer que X est réunion d’une famille dénombrable de sous-espaces fermés métrisables et que tout point de X possède un voisinage compact et métrisable, mais que X n’est pas normal. (Soit A l’ensemble des $(0, y)$, où y est rationnel, et soit B = D — A; montrer que dans X, tout voisinage U de A rencontre tout voisinage V de B: pour cela, considérer pour tout n l’ensemble $B_n$ des $y \in B$ tels que $T_n(y) \subset V$, et remarquer que dans $\mathbf{R}$ l’ensemble B n’est pas maigre).