Exercice 20, § 5

Soit $X$ un espace topologique.

a) Soit $f$ une fonction numérique (finie ou non) semi-continue inférieurement dans $X$. Montrer que l’ensemble des points $x \in X$ où $f$ est continue est le complémentaire d’un ensemble maigre (complémentaire qui est donc partout dense si X est un espace de Baire). (Se ramener au cas où f est bornée; noter que pour tout entier n, l’ensemble des x ∈ X tels que ω(x; f) ≥ 1/n est rare, en utilisant IV, p. 56, exerc. 6).

b) Soit (f_n) une suite d’applications continues de X dans un espace métrique Y, telle que pour tout x ∈ X, la suite (f_n(x)) ait une limite f(x) dans Y. Montrer que l’ensemble des points x ∈ X où f est continue est le complémentaire d’un ensemble maigre (ensemble qui est donc partout dense si X est un espace de Baire). (Pour tout n, soit φ_n(x) le diamètre dans Y de l’ensemble des f_m(x) pour m ≥ n; montrer que φ_n est semi-continue inférieurement, et appliquer à chaque φ_n le résultat de a)).

c) Soit K l’intervalle compact (0, 1) dans R; donner un exemple d’une suite d’applications continues f_n de K dans l’espace compact K^K telle que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ existe pour tout x ∈ K mais que f ne soit continue en aucun point de K.