Exercice 18, § 6

Soient $X$ un espace métrisable, $f$ une capacité continue à droite sur $X$ telle que $f(A \cup B) \leq f(A) + f(B)$.

a) Avec les notations de l’exerc. 16, de IX, p. 122, montrer que l’on a

et

pour deux parties quelconques $A, B$ de $X$. (Si $K$ est un ensemble compact tel que $K \subset A \cup B$, $U$ un ensemble ouvert tel que $B \subset U$, écrire $K = (K \cap U) \cup (K \cap \complement U)$.)

b) Soient $K$ une partie compacte de $X$ ayant la puissance du continu, $(A, B)$ une partition de $K$ en deux ensembles tels que toute partie compacte de $A$ ou de $B$ soit dénombrable (cf. IX, p. 114, exerc. 17 d)). Montrer que si $f(\{x\}) = 0$ pour toute partie réduite à un point et si $f(K) > 0$, ni $A$ ni $B$ ne sont capacitables pour $f$.