Exercice 19, § 6

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue dans $\mathbf{R}$; on définit une capacité $f$ continue à droite sur $\mathbf{R}^2$, vérifiant la condition (AL) de l’exerc. 16 de IX, p. 122, en posant $f(A) = \mu^* (\mathrm{pr}_1 A)$.

a) Soient $A$ une partie bornée non capacitable de $\mathbf{R}^2$ (exerc. 18), $B_0$ un cercle $\|x\| = r$ tel que A soit contenu dans le disque ouvert $\|x\| < r$, $B_1$ un cercle $\|x\| = r'$ de rayon $r' > r$. Montrer que $A \cup B_0$ et $A \cup B_1$ sont capacitables bien que leur intersection $A$ ne le soit pas. b) Pour tout $n$, soit $C_n$ l’ensemble des $x \in \mathbf{R}^2$ tels que

Montrer que chacun des ensembles $A \cup C_n$ est capacitable bien que leur intersection ne le soit pas, et que l’on a $\inf f(C_n) \neq f\left( \bigcap_n C_n \right)$*