Exercice 6, § 3

Soit $G$ un groupe topologique satisfaisant aux conditions suivantes: $(\mathrm{LR}_I)$ $G$ est séparé et localement connexe. $(\mathrm{LR}_{II})$ Il existe un voisinage connexe $U$ de l’élément neutre $e$ de $G$ tel que le complémentaire de $e$ par rapport à $U$ soit non connexe.

Dans ces conditions, montrer que $G$ est un groupe topologique localement isomorphe à $\mathbf{R}$. (On établira d’abord que, pour tout voisinage connexe $V$ de $e$ dans $G$ contenu dans $U$, $V \cap C\{e\}$ n’est pas connexe, que $e$ est adhérent à toute composante connexe de $V \cap C\{e\}$, et que cet ensemble a exactement deux composantes connexes en raisonnant comme dans l’exerc. 4. Prendre ensuite le voisinage connexe $V$ assez petit et définir sur $V$ une structure d’ensemble totalement ordonné, de sorte que $\mathscr{T}_0(V)$ soit moins fine que la topologie induite sur $V$ par celle de $G$, et que la prop. 2 de V, p. 9 soit applicable à l’ensemble $E$ des éléments $\geq e$ de $V$.)