Bài tập 6, § 3

Cho $G$ là một nhóm tôpô thỏa mãn các điều kiện sau: $(\mathrm{LR}_I)$ $G$ là tách và liên thông địa phương. $(\mathrm{LR}_{II})$ Tồn tại một lân cận liên thông $U$ của phần tử đơn vị $e$ của $G$ sao cho phần bù của $e$ đối với $U$ không liên thông.

Dưới các điều kiện này, hãy chứng minh rằng $G$ là một nhóm tôpô đẳng cấu địa phương với $\mathbf{R}$. (Trước hết ta sẽ chứng minh rằng, với mọi lân cận liên thông $V$ của $e$ trong $G$ được chứa trong $U$, $V \cap C\{e\}$ không liên thông, rằng $e$ dính với mọi thành phần liên thông của $V \cap C\{e\}$, và rằng tập hợp này có đúng hai thành phần liên thông bằng lập luận như trong Bài tập 4. Sau đó lấy lân cận liên thông $V$ đủ nhỏ và định nghĩa trên $V$ một cấu trúc của một tập sắp thứ tự toàn phần, sao cho $\mathscr{T}_0(V)$ kém mịn hơn tôpô cảm sinh trên $V$ bởi tôpô của $G$, và sao cho mệnh đề 2 của V, p. 9 áp dụng được cho tập hợp $E$ gồm các phần tử $\geq e$ của $V$.)