Exercice 8, § 3

Soient G un groupe topologique séparé, H un sous-groupe fermé de G contenu dans le centre et tel qu’il existe un homomorphisme continu surjectif $\varphi : \mathbf{R} \to G/H$. Montrer que G est commutatif (si $a_0$ est un élément de G non dans H, observer qu’il existe une suite d’éléments $(a_n)$ de G et une suite d’éléments $(c_n)$ de H tels que $a_n = c_n a_{n+1}^2$, et que le sous-groupe de G engendré par H et les $a_n$ est dense dans G).