Exercice 3, § 1

Soient $A$ et $B$ deux parties dénombrables partout denses dans $\mathbf{R}^2$. Montrer qu’il existe un homéomorphisme de $\mathbf{R}^2$ sur lui-même qui applique $A$ sur $B$. (Montrer d’abord que, par une rotation, on peut se ramener au cas où les projections $pr_1$ et $pr_2$ sont des applications injectives de $A$ et de $B$ dans $\mathbf{R}$. Définir ensuite, par une récurrence convenable, une bijection de $A$ sur $B$ qui détermine une application monotone de $pr_1$ $A$ sur $pr_1$ $B$, et aussi une application monotone de $pr_2$ $A$ sur $pr_2$ $B$. Enfin, en utilisant l’exerc. 11 de IV, p. 48, montrer que cette application est un homéomorphisme qu’on peut prolonger en un homéomorphisme de $\mathbf{R}^2$ sur lui-même.) En déduire que si $C$ est une partie de $\mathbf{R}^2$ dont le complémentaire est partout dense, $C$ est homéomorphe à une partie du complémentaire de $\mathbf{Q}^2$ dans $\mathbf{R}^2$. Généraliser ces résultats à $\mathbf{R}^n$, pour $n > 2$.