Bài tập 3, § 1

Cho $A$ và $B$ là hai tập con đếm được trù mật của $\mathbf{R}^2$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng phôi từ $\mathbf{R}^2$ lên chính nó biến $A$ thành $B$. (Trước hết hãy chỉ ra rằng, bằng một phép quay, ta có thể rút gọn về trường hợp các phép chiếu $pr_1$ và $pr_2$ là các ánh xạ đơn ánh của $A$ và $B$ vào $\mathbf{R}$. Sau đó định nghĩa, bằng một quá trình quy nạp thích hợp, một song ánh từ $A$ lên $B$ xác định một ánh xạ đơn điệu từ $pr_1 A$ lên $pr_1 B$ và một ánh xạ đơn điệu từ $pr_2 A$ lên $pr_2 B$. Cuối cùng, sử dụng Bài tập 11, Chương IV, § 2, hãy chỉ ra rằng ánh xạ này là một đồng phôi có thể được mở rộng thành một đồng phôi từ $\mathbf{R}^2$ lên chính nó.) Suy ra rằng, nếu $C$ là một tập con của $\mathbf{R}^2$ mà phần bù của nó là trù mật, thì $C$ đồng phôi với một tập con của phần bù của $\mathbf{Q}^2$ trong $\mathbf{R}^2$. Tổng quát hóa các kết quả này cho $\mathbf{R}^n, n > 2$.