Exercice 7, § 1

Soient $A$ un ensemble ouvert connexe non vide dans $\mathbf{R}^n$ ($n > 1$), $(V_p)_{p \in \mathbf{N}}$ une famille dénombrable de variétés linéaires de $\mathbf{R}^n$ dont chacune est de dimension $\leq n - 2$. Montrer que si $B$ est la réunion des $V_p$, $A \cap \complement B$ est dense dans $A$ et connexe. (Pour voir que $A \cap \complement B$ est dense dans $A$, raisonner par récurrence sur $n$. Prouver ensuite que si $x, y$ sont deux points distincts de $A$, il existe pour tout $\varepsilon > 0$ un point $y' \in A$ tel que $\|y' - y\| \leq \varepsilon$ et que le segment fermé d’extrémités $x$ et $y'$ n’ait aucun point commun avec $B$ sauf $x$. Utiliser enfin l’exerc. 6. pour montrer que $A \cap \complement B$ est connexe.)