Bài tập 7, § 1

Cho $A$ là một tập hợp mở liên thông không rỗng trong $\mathbf{R}^n$ ($n > 1$) và cho $(V_p)_{p \in \mathbf{N}}$ là một họ đếm được các đa tạp tuyến tính trong $\mathbf{R}^n$, mỗi đa tạp trong đó có chiều $\leq n - 2$. Chứng minh rằng nếu $B$ là hợp của các $V_p$, thì $A \cap \overline{B}$ là trù mật trong $A$ và liên thông. (Để chứng minh rằng $A \cap \overline{B}$ là trù mật trong $A$, dùng quy nạp theo $n$. Sau đó chứng minh rằng nếu $x, y$ là hai điểm phân biệt của $A$, thì với mỗi $\varepsilon > 0$ tồn tại một điểm $y' \in A$ sao cho $\|y' - y\| \leq \varepsilon$ và sao cho đoạn đóng có hai đầu mút $x$ và $y'$ chỉ gặp $B$ tại $x$. Cuối cùng dùng Bài tập 6 để chứng minh rằng $A \cap \overline{B}$ là liên thông.)