Exercice 1, § 2

Topologie générale, VI, p. 23

It is set in small type as supplementary.

Soit $I$ le cube fermé de $\mathbf{R}^n$ , produit de $n$ intervalles identiques à $(-\pi/2, \pi/2)$ . À tout point $x = (x_i)$ de $I$ , on fait correspondre le point $y = (y_j)$ de $\mathbf{R}^{n+1}$ tel que

\begin{align*} y_1 &= \sin x_1 \\ y_2 &= \cos x_1 \sin x_2 \\ &\vdots \\ y_p &= \cos x_1 \cos x_2 \ldots \cos x_{p-1} \sin x_p \quad (2 \leq p \leq n-1) \\ &\vdots \\ y_n &= \cos x_1 \cos x_2 \ldots \cos x_{n-1} \sin 2x_n \\ y_{n+1} &= \cos x_1 \cos x_2 \ldots \cos x_{n-1} \cos 2x_n. \end{align*}

Montrer que l’image de $I$ par cette application est la sphère $S_n$ et que la restriction de cette application à l’intérieur de $I$ est un homéomorphisme sur un ensemble ouvert dense dans $S_n$ *

Solution

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