Exercice 2, § 3

Identifiant l’espace projectif $P_n$ et l’espace quotient de $B_n$ défini dans la prop. 3 de VI, p. 14, on désigne par $\varphi$ l’application canonique de $B_n$ sur $P_n$. On dit qu’une application continue $f$ d’un espace topologique $E$ dans $P_n$ est inessentielle s’il existe une application continue $g$ de $E$ dans $B_n$ telle que $f = \varphi \circ g$, essentielle dans le cas contraire (cf. VI, p. 24, exerc. 6). Montrer qu’il existe un entourage $U$ de la structure uniforme de $P_n$ tel que, si $f$ est une application inessentielle d’un espace topologique $E$ dans $P_n$, toute application continue $f'$ de $E$ dans $P_n$ telle que $(f(x), f'(x)) \in U$ pour tout $x \in E$, soit aussi inessentielle.