Exercice 8, § 3

Soit $g$ l’application qui, à toute matrice $X$ de $L_{n,p}$, fait correspondre la matrice $X'$ formée des $q$ premières lignes de $X$ ($q < p$). Montrer que la restriction de $g$ à $V_{n,p}$ est une application continue et ouverte de $V_{n,p}$ sur $V_{n,q}$ (utiliser l’exerc. 7, en remarquant que si $X = U . Y$, on a $g(X) = U'.g(Y)$, où $U'$ est la matrice obtenue en supprimant dans $U$ les lignes et les colonnes d’indice $> q$; d’autre part, observer que $f$ est ouverte). En déduire que, si $\Omega$ est la relation d’équivalence $g(X) = g(Y)$ entre matrices de $V_{n,p}$, l’espace quotient $V_{n,p}/\Omega$ est homéomorphe à $V_{n,q}$.