Exercice 10, § 1

Topologie générale, VII

Soient $a$ un nombre réel, $n$ un entier $> 0$ ; pour $1 \leq k \leq n + 1$ , on considère les nombres $x_k = ka - [ka]$ de l’intervalle $[0, 1[$ . Si, pour $1 \leq h \leq n$ , $I_h$ désigne l’intervalle

((h - 1)/n, h/n[

montrer qu’il existe deux indices

k, k'

distincts tels que

x_k

x_{k'}

appartiennent à un même intervalle

I_h

(pour un

h

convenable). En déduire qu’il existe deux entiers

p, q

tels que

1 \leq p \leq n

|pa - q| < 1/n

Solution

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