Exercice 13, § 1

On appelle suite de Farey d’ordre $n$ ($n$ entier $> 0$) l’ensemble $F_n$ des nombres rationnels qui, mis sous forme de fraction irréductible $p/q$, sont tels que $0 \leq p \leq q \leq n$, et qu’on range par ordre croissant.

a) Montrer que si deux nombres rationnels $r = p/q, r' = p'/q'$ sont tels que $qp' - pq' = \pm 1$, tout couple d’entiers $(p'', q'')$ peut se mettre sous la forme $p'' = px + p'y, q'' = qx + q'y$, où $x$ et $y$ sont des entiers; pour que la fraction $p''/q''$ appartienne à l’intervalle fermé d’extrémités $r$ et $r'$, il faut et il suffit que $x$ et $y$ aient même signe.

b) Déduire de a) que, si $r = p/q, r' = p'/q'$ sont deux nombres rationnels appartenant à $[0, 1]$, tels que $q > 0, q' > 0$ et $qp' - pq' = \pm 1$, $r$ et $r'$ sont consécutifs dans la suite $F_n$, $n$ désignant le plus grand des entiers $q, q'$; de plus, le plus petit des entiers $m$ tels que l’intervalle ouvert d’extrémités $r, r'$ contienne un point de $F_m$ est l’entier $q + q'$ et il n’existe dans cet intervalle qu’un seul point de $F_{q+q'}$, savoir la fraction $(p + p')/(q + q')$.

c) Montrer que, réciproquement, si $r$ et $r'$ sont deux termes consécutifs dans $F_n$, on a $qp' - pq' = \pm 1$ (procéder par récurrence sur $n$).

d) Déduire de c) que, pour tout nombre réel $\theta$ tel que $0 \leq \theta \leq 1$ et tout entier $n \geq 1$, il existe au moins une fraction irréductible $p/q$ telle que $1 \leq q \leq n$ et $|\theta - p/q| \leq 1/(n + 1)q$ (cf. VII, p. 21, exerc. 10).

e) Si $p/q$ est une fraction irréductible telle que $|\theta - p/q| < 1/q^2$, $\theta$ appartient à l’intervalle ouvert dont les extrémités sont les deux termes de la suite de Farey $F_q$ consécutifs à $p/q$.