Bài tập 13, § 1

Chuỗi Farey cấp $n$ ($n$ là một số nguyên > o) là tập hợp $F_n$ các số hữu tỉ $p/q$ ở dạng tối giản sao cho $0 \leq p \leq q \leq n$, được sắp xếp theo thứ tự tăng (nghĩa là, chuỗi Farey là một dãy).

a) Chứng minh rằng nếu hai số hữu tỉ $r = p/q, r' = p'/q'$ sao cho $p'q - pq' = \pm 1$, thì mọi cặp số nguyên $(p'', q'')$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng $p'' = px + p'y, q'' = qx + q'y$ trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên. Phân số $p''/q''$ thuộc khoảng đóng có các đầu mút là $r$ và $r'$ khi và chỉ khi $x$ và $y$ có cùng dấu.

b) Suy ra từ a) rằng nếu $r = p/q$ và $r' = p'/q'$ là hai số hữu tỉ trong $[0, 1]$ sao cho $q > 0$ và $q' > 0$ và $qp' - pq' = \pm 1$, thì $r$ và $r'$ là hai phần tử liên tiếp trong dãy $F_n$, trong đó $n = \max(q, q')$. Hơn nữa, số nguyên nhỏ nhất $m$ sao cho khoảng mở có các đầu mút là $r$ và $r'$ chứa một điểm của $F_m$ là $m = q + q'$, và chỉ có một điểm của $F_{q+q'}$ trong khoảng này, đó là phân số $(p + p')/(q + q')$.

c) Chứng minh rằng ngược lại, nếu $r$ và $r'$ là hai phần tử liên tiếp của $F_n$, ta có $p'q - pq' = \pm 1$ (dùng quy nạp theo $n$).

d) Suy ra từ c) rằng, với mỗi số thực $\theta \in [0, 1]$ và mỗi số nguyên $n \geq 1$, có ít nhất một phân số $p/q$ ở dạng tối giản sao cho $1 \leq q \leq n$ và $|\theta - p/q| \leq 1/(n + 1)q$ (xem Bài tập 10).

e) Nếu $p/q$ là một phân số ở dạng tối giản sao cho $|\theta - p/q| < 1/q^2$, thì $\theta$ thuộc khoảng mở mà các đầu mút là hai số hạng của chuỗi Farey $F_q$ liên tiếp với $p/q$.