Exercice 14, § 1

Soit $\varphi$ l’homomorphisme canonique de $\mathbf{R}$ sur $\mathbf{T}$; soient $\theta$ un élément d’ordre infini du groupe $\mathbf{T}$, et $\theta_0$ un nombre réel (irrationnel) tel que $\varphi(\theta_0) = \theta$. Pour tout entier $n > 0$, soit $S_n$ l’ensemble des éléments $k\theta$ de $\mathbf{T}$ pour $1 \leq k \leq n$; pour tout intervalle $I$ de $\mathbf{R}$, soit $N(I, n)$ le nombre des éléments de l’ensemble $I \cap \varphi^{-1}(S_n)$.

a) Si l’on prend $I = [0, \theta_0[$, montrer que $N(I, n) = [n\theta_0]$ (on observera que $N(I, n)$ est alors le nombre de couples d’entiers $(x, y)$ tels que $1 \leq y \leq n$ et $x \leq y\theta_0 < x + \theta_0$).

b) Plus généralement, si l’on prend $I = [0, m\theta_0[$, $m$ étant entier, on a

(même méthode).

c) En déduire que, si $I$ est un intervalle quelconque, le nombre $(N(I, n))/n$ tend, lorsque $n$ croît indéfiniment, vers une limite égale à la longueur de $I$ (le démontrer d’abord lorsque $I$ est de la forme $[m\theta_0 + a, m'\theta_0 + a']$, $m, m', a$ et $a'$ étant entiers, en se servant de b); passer de là au cas général en approchant les extrémités de $I$ par des nombres de la forme $m\theta_0 + a$ (« équipartition de la suite $(k\theta)$ modulo 1 »).