Bài tập 14, § 1

Cho $\varphi : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ là đồng cấu chính tắc; cho $\theta$ là một phần tử có cấp vô hạn trong $\mathbf{T}$ và cho $\theta_0$ là một số thực (vô tỉ) sao cho $\varphi(\theta_0) = \theta$. Với mỗi số nguyên $n > 0$, cho $S_n$ là tập hợp các phần tử $k\theta$ của $\mathbf{T}$ mà $1 \leq k \leq n$, và với mỗi khoảng $I$ của $\mathbf{R}$ cho $N(I, n)$ là số các phần tử của tập hợp $I \cap \overline{\varphi^{-1}(S_n)}$.

a) Nếu ta lấy $I = [0, \theta_0[$, hãy chứng minh rằng $N(I, n) = [n\theta_0]$ [chú ý rằng khi đó $N(I, n)$ là số các cặp số nguyên $(x, y)$ sao cho $1 \leq y \leq n$ và $x \leq y\theta_0 < x + \theta_0$].

b) Tổng quát hơn, nếu ta lấy $I = [0, m\theta_0[$, với $m$ là một số nguyên, ta có $m.[(n - m)\theta_0] \leq N(I, n) \leq m.[n\theta_0]$ (cùng phương pháp).

c) Suy ra rằng, nếu $I$ là một khoảng bất kỳ, số $N(I, n)/n$ tiến tới một giới hạn bằng độ dài của $I$, khi $n \to + \infty$. (Trước hết hãy chứng minh kết quả khi $I$ có dạng $[m\theta_0 + a, m'\theta_0 + a']$, trong đó $m, m', a$ và $a'$ là các số nguyên, bằng cách sử dụng b); sau đó chuyển sang trường hợp tổng quát bằng cách xấp xỉ các đầu mút của $I$ bởi các số có dạng $m\theta_0 + a$.) ["Phân bố đều của dãy $(k\theta) \mod 1$"].