Exercice 4, § 1

Soient H et K deux sous-groupes discrets de $\mathbf{R}^n$ tels que la somme $H + K$ soit un sous-groupe fermé. Montrer que $H + K$ est alors discret, et qu’on a

(soit $V$ le sous-espace vectoriel engendré par $H \cap K$; décomposer $H$ en somme directe de $V \cap H$ et d’un groupe discret $H_1$, $K$ en somme directe de $V \cap K$ et d’un groupe discret $K_1$, en utilisant l’exerc. 3; puis montrer que la somme $H_1 + K_1$ est directe et utiliser l’exerc. 2).