Bài tập 4, § 1

Cho $H$ và $K$ là hai nhóm con rời rạc của $\mathbf{R}^n$ sao cho $H + K$ là một nhóm con đóng. Chứng minh rằng $H + K$ khi đó là rời rạc và rằng $r(H) + r(K) = r(H \cap K) + r(H + K)$. (Cho $V$ là không gian con vectơ của $\mathbf{R}^n$ sinh bởi $H \cap K$; tách $H$ thành tổng trực tiếp của $V \cap H$ và một nhóm rời rạc $H_1$, và $K$ thành tổng trực tiếp của $V \cap K$ và một nhóm rời rạc $K_1$, sử dụng bài tập 3; sau đó chứng minh rằng tổng $H_1 + K_1$ là trực tiếp và sử dụng bài tập 2.)