Exercice 5, § 1

Soient $G, G'$ deux sous-groupes fermés de $\mathbf{R}^n$ tels que $G' \subset G$, $V$ et $V'$ les plus grands sous-espaces vectoriels contenus dans $G$ et $G'$ respectivement. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $W$ supplémentaire de $V$, tel que $G$ soit somme directe de $V$ et du groupe discret $K = W \cap G$, et $G'$ somme directe de $V \cap G'$ et de $K \cap G' = W \cap G'$ (si $U$ est un sous-espace supplémentaire de $V'$, remarquer, en utilisant l’exerc. 3, que le groupe discret $U \cap G'$ est somme directe de $U \cap V \cap G'$ et d’un groupe discret $K'$, et prendre pour $W$ un sous-espace vectoriel contenant $K'$. En déduire que: a) Le groupe quotient $G/G'$ est isomorphe à un groupe de la forme $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q \times \mathbf{Z}^r \times F$, où $F$ est un groupe commutatif fini. b) Tout sous-groupe fermé et tout groupe quotient séparé d’un groupe de la forme $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q \times \mathbf{Z}^r \times F$ ($F$ groupe commutatif fini) est un groupe de la même forme.