Bài tập 5, § 1

Cho $G, G'$ là hai nhóm con đóng của $\mathbf{R}^n$ sao cho $G' \subset G$, và cho $V$ (tương ứng $V'$) là không gian vectơ lớn nhất được chứa trong $G$ (tương ứng $G'$). Chứng minh rằng tồn tại một không gian vectơ $W$ bù với $V$ sao cho $G$ là tổng trực tiếp của $V$ và nhóm rời rạc $K = W \cap G$, và sao cho $G'$ là tổng trực tiếp của $V \cap G'$ và $K \cap G' = W \cap G'$. (Nếu $U$ là một không gian vectơ bù với $V'$, dùng Bài tập 3 để chỉ ra rằng nhóm rời rạc $U \cap G'$ là tổng trực tiếp của $U \cap V \cap G'$ và một nhóm rời rạc $K'$, và lấy $W$ là một không gian vectơ chứa $K'$.) Suy ra rằng:

a) Nhóm thương $G/G'$ là đẳng cấu với một nhóm tích có dạng

trong đó $F$ là một nhóm Abel hữu hạn.

b) Mọi nhóm con đóng và mọi nhóm thương Hausdorff của một nhóm có dạng $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q \times \mathbf{Z}^r \times F$ ($F$ hữu hạn và Abel) đều có cùng dạng.