Exercice 7, § 1

Soit $G$ un sous-groupe fermé de $\mathbf{R}^n$. Pour qu’un sous-groupe fermé $H$ de $G$ soit tel que $G$ soit somme directe de $H$ et d’un autre sous-groupe fermé $K$, il faut et il suffit que $H$ soit intersection de $G$ et d’un sous-espace vectoriel (utiliser l’exerc. 5 pour voir que la condition est nécessaire; pour montrer qu’elle est suffisante, appliquer convenablement le th. 2 de VII, p. 5 à $G$ et à $H$, et utiliser l’exerc. 3 de VII, p. 19).