Exercice 8, § 1

a) Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes fermés de $\mathbf{R}^n$. Montrer que si l’on a

le sous-groupe $H + K$ est fermé dans $\mathbf{R}^n$ (à l’aide de l’exerc. 7 et de l’hypothèse, se ramener au cas où les trois sous-espaces vectoriels engendrés par $H, K$ et $H \cap K$ sont identiques; désignant par $V$ et $W$ les plus grands sous-espaces vectoriels contenus dans $H$ et $K$, montrer, à l’aide de l’exerc. 5, que $V$ est identique au sous-espace engendré par $V \cap K$, et $W$ au sous-espace engendré par $W \cap H$; enfin, décomposer $H \cap K$ en somme directe de et d’un groupe discret, à l’aide de l’exerc. 7).

b) Déduire de a) et de l’exerc. 6 que, si H et K sont deux sous-groupes fermés de $\mathbf{R}^n$ tels que $H + K$ soit un sous-groupe fermé, la somme $H^* + K^*$ des sous-groupes associés à H et K est un sous-groupe fermé.

c) Déduire de b) que, si H et K sont deux sous-groupes fermés de $\mathbf{R}^n$ tels que

le sous-groupe $H + K$ est fermé.