Bài tập 8, § 1

a) Cho $H, K$ là hai nhóm con đóng của $\mathbf{R}^n$. Chứng minh rằng nếu $r(H) + r(K)$ bằng $r(H \cap K) + r(H + K)$, thì $H + K$ là đóng trong $\mathbf{R}^n$. [Sử dụng Bài tập 7 và giả thiết đã cho, rút gọn về trường hợp $H, K$ và $H \cap K$ đều sinh cùng một không gian con vectơ giống nhau; nếu $V$ (tương ứng $W$) ký hiệu không gian con lớn nhất được chứa trong $H$ (tương ứng $K$), chứng minh với sự trợ giúp của Bài tập 5 rằng $V$ được sinh bởi $V \cap K$, và $W$ được sinh bởi $W \cap H$; cuối cùng, tách $H \cap K$ thành tổng trực tiếp của $H \cap K \cap (V + W)$ và một nhóm rời rạc, bằng cách sử dụng Bài tập 7.]

b) Suy ra từ a) và Bài tập 6 rằng, nếu $H$ và $K$ là hai nhóm con đóng của $\mathbf{R}^n$ sao cho $H + K$ là một nhóm con đóng, thì $H^* + K^*$ cũng là một nhóm con đóng.

c) Suy ra từ b) rằng nếu $H$ và $K$ là hai nhóm con đóng của $\mathbf{R}^n$ sao cho $d(H) + d(K) = d(H \cap K) + d(H + K)$, thì nhóm con $H + K$ là đóng.