Exercice 4, § 2

a) Soient $G$ un groupe localement compact commutatif, $H$ un sous-groupe fermé de $G$ isomorphe à $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$ pour deux entiers $p \geqslant 0, q \geqslant 0$, et supposons que $G/H$ soit isomorphe à $\mathbf{R}$ ou à $\mathbf{T}$. Montrer que $G$ est isomorphe au produit de $H$ et d’un sous-groupe fermé $L$ isomorphe à $G/H$. (Appliquer V, p. 18, exerc. 7 d), pour obtenir un homomorphisme continu $f$ de $\mathbf{R}$ dans $G$ tel que $f(\mathbf{R}) \not\subset H$; en déduire un autre homomorphisme continu $g$ de $\mathbf{R}$ dans $G$ tel que $f(t) - g(t) \in H$ pour tout $t \in \mathbf{R}$ et $f(\mathbf{R}) \cap H = \{e\}$; on observera que $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe fermé de $\mathbf{R}$ distinct de $\mathbf{R}$, et que pour tout élément $z \neq e$ dans $H$, il existe un homomorphisme continu $u$ de $\mathbf{R}$ dans $H$ tel que $u(1) = z$.)

b) Soient $G$ un groupe topologique commutatif séparé, $H$ un sous-groupe fermé de $G$ isomorphe à $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$, et supposons qu’il existe un homomorphisme continu surjectif $\varphi : \mathbf{R} \to G/H$. Montrer qu’il existe un homomorphisme continu $f : \mathbf{R} \to G$ tel que $f(\mathbf{R}) \cap H = \{e\}$ et $G = H.f(\mathbf{R})$. (Se ramener au cas a), en considérant sur $G$ la borne supérieure de la topologie donnée et de celle dont un système fondamental de voisinages de 0 est formée par les $p(\varphi(I))$, où $p : G \to G/H$ est l’application canonique et I parcourt un système fondamental de voisinages de 0 dans $\mathbf{R}$; on prouvera que $G$ est localement compact pour cette nouvelle topologie (cf. III, p. 75, exerc. 10 e)).

c) Donner un exemple où la restriction de $p$ à $f(\mathbf{R})$ n’est pas bicontinue (cf. V, p. 16, exerc. 2f)).