Bài tập 4, § 2

a) Cho $G$ là một nhóm Abel địa phương compact và cho $H$ là một nhóm con của $G$ đẳng cấu với $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$ trong đó $p, q$ là các số nguyên $\geqslant 0$; giả sử thêm rằng $G/H$ đẳng cấu với $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{T}$. Chứng minh rằng $G$ đẳng cấu với tích của $H$ và một nhóm con đóng $L$ đẳng cấu với $G/H$. [Áp dụng Chương V, § 3, Bài tập 7 d), để thu được một đồng cấu liên tục $f$ của $\mathbf{R}$ vào $G$ sao cho $f(\mathbf{R}) \not\subset H$; do đó xây dựng một đồng cấu liên tục khác $g : \mathbf{R} \to G$ sao cho $f(t) - g(t) \in H$ với mọi $t \in \mathbf{R}$ và $g(\mathbf{R}) \cap H = \{ e \}$. Chú ý rằng $f(H)$ là một nhóm con đóng thực sự của $\mathbf{R}$ và rằng, với mọi phần tử $z \neq e$ trong $H$, tồn tại một đồng cấu liên tục $u$ của $\mathbf{R}$ vào $H$ sao cho $u(1) = z .$]

b) Cho $G$ là một nhóm tôpô Abel Hausdorff, cho $H$ là một nhóm con đóng của $G$ đẳng cấu với $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$, và giả sử rằng tồn tại một đồng cấu liên tục toàn ánh $\varphi : \mathbf{R} \to G/H$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu liên tục $f : \mathbf{R} \to G$ sao cho $f(\mathbf{R}) \cap H = \{ e \}$ và $G = H \cdot f(\mathbf{R})$. [Rút gọn về trường hợp a) bằng cách xét cận trên trên $G$ của tôpô đã cho và tôpô mà một hệ cơ bản các lân cận của $o$ được tạo bởi các $\overline{p}^{-1}(\varphi(I))$, trong đó $p : G \to G/H$ là ánh xạ chính tắc và $I$ chạy qua một hệ cơ bản các lân cận của $o$ trong $\mathbf{R}$; chứng minh rằng $G$ là địa phương compact trong tôpô mới này (xem Chương III, § 4, Bài tập 10 e)).]

c) Cho một ví dụ trong đó hạn chế của $p$ trên $f(\mathbf{R})$ không song liên tục [xem § 1, Bài tập 2f)].