Exercice 5, § 1

a) Soit $K$ un sous-corps non commutatif du corps des quaternions $\mathbf{H}$; montrer que le centre $Z$ de $K$ est un sous-corps du centre $\mathbf{R}$ de $\mathbf{H}$. (Remarquer que tout élément de $K$ est permutable avec tous les éléments du corps commutatif $L$ engendré par $Z \cup \mathbf{R}$; si on avait $Z \not\subset \mathbf{R}$, le corps $L$ serait un sous-corps commutatif maximal de $\mathbf{H}$, et $K$ serait contenu dans $L$, contrairement à l’hypothèse.)

b) En déduire que tout isomorphisme $f$ (non nécessairement continu) de $\mathbf{H}$ sur un sous-corps de $\mathbf{H}$ est un automorphisme intérieur $x \mapsto axa^{-1}$ de $\mathbf{H}$ (la restriction de $f$ à $\mathbf{R}$ est un isomorphisme de $\mathbf{R}$ sur un sous-corps de $\mathbf{R}$, en vertu de a); utiliser l’exerc. 3 de IV, § 3, et A, VIII, § 10, n° 1, cor. du th. 1).