Exercice 1, § 2

Soient $a$ un nombre complexe $\neq 0$, $n$ un entier $> 0$; pour tout nombre $r > 0$ tel que $r^n \leq |a|$, montrer qu’il existe $z \in \mathbf{C}$ tel que $|z| = r$ et $|a + z^n| = |a| - r^n$. En déduire que si $f$ est un polynôme de degré $> 0$, à coefficients complexes, on ne peut avoir $|f(z_0)| \leq |f(z)|$ pour tous les points $z$ d’un voisinage d’un point $z_0$, lorsque $f(z_0) \neq 0$.