Exercice 3, § 4

Démontrer, grâce à la prop. 10 de I, p. 23, que l’espace projectif réel $P_n(\mathbf{R})$ est homéomorphe au sous-espace de $P_n(\mathbf{C})$ formé des points ayant au moins un système de coordonnées homogènes réelles ($\mathbf{R}_{n+1}^*$ étant considéré comme plongé dans $\mathbf{C}_{n+1}^*$, soient A un ensemble fermé dans $\mathbf{R}_{n+1}^*$, saturé pour $\Delta_n(\mathbf{R})$, B l’ensemble des points $\zeta x$, où x parcourt A et $\zeta$ le cercle unité U; montrer que $\overline{B}$ est saturé pour $\Delta_n(\mathbf{C})$, et que A est la trace de $\overline{B}$ sur $\mathbf{R}_{n+1}^*$.