Exercice 4, § 4

Dans l’espace projectif complexe $P_n(\mathbf{C})$, soit $H_n$ la « quadrique » définie par l’équation

Montrer que, dans $H_n$, tout point a un voisinage ouvert homéomorphe à $\mathbf{C}^{n-1}$, et que $H_n$ est connexe, ainsi que son intersection avec le complémentaire d’un hyperplan projectif complexe quelconque (pour ce dernier point, on se ramènera au cas où $n = 2$).

Montrer que $H_2$ est homéomorphe à $S_2$, et $H_3$ à $S_2 \times S_2$ (utiliser la représentation paramétrique de la quadrique au moyen de ses génératrices rectilignes).