Exercice 1, § 1

Soient X un ensemble, Y un espace uniforme non vide et non réduit à un point, $\mathfrak{S}$ un ensemble non vide de parties non vides de X, $Y' \subset \mathscr{F}(X; Y)$ l’ensemble des applications constantes de X dans Y. Pour tout $y \in Y$, soit $c_y$ l’application constante de X dans Y égale à $y$.

a) Montrer que $y \mapsto c_y$ est un isomorphisme de Y sur le sous-espace uniforme $Y'$ de $\mathscr{F}_\varepsilon(X; Y)$.

b) Pour que $\mathscr{F}_\varepsilon(X; Y)$ soit séparé, il faut (et il suffit) que Y soit séparé et que $\mathfrak{S}$ soit un recouvrement de X.

c) Pour que $Y'$ soit fermé dans $\mathscr{F}_\varepsilon(X; Y)$, il faut et il suffit que $\mathscr{F}_\varepsilon(X; Y)$ soit séparé.